Session rattrapage 2012

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On considère la fonction `f` définie par `f(x)= x+ {e^x-1}/{e^x+1}`

1) Montrer que ` forall x in R : f(-x) = -f(x)` , puis en déduire que le point `O` est un centre de symétrie de `C_f`

2) Vérifier que `forall x in R : f(x)= x+1 -2/(e^x+1)`

3) a) Montrer que `forall x in R : f'(x)= 1+ {2e^x}/(e^x+1)^2` .puis vérifier que `f'(0) = 3/2 `

b) Montrer que `f` est croissante sur `R`

c) Montrer que de la tangente `T` de `C_f` en `O ` a pour équation cartésienne `y=3/2x`

4)a) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

b) Calculer `lim_{ x to +infty} (f(x) -(x+1))` ; puis en déduire que que la droite `D : ` d'équation `D :y=x+1`est une asymptote oblique de `C_f` au voisinage de `+infty`

c) Montrer que la courbe `C_f` est en dessous de la droite `D`

5) Tracer la courbe `C_f`

6 a) Montrer que la fonction `H : x-> x -ln(1+e^x)` est une primitive sur `R` de la fonction ` x->1/(e^x+1)`

b) En déduire que `int_0^(ln2) 1/(e^x+1) dx = ln(4) -ln(3) `

c) Calculer la surface du domaine délimité par `C_f` , la droite `D` et les droites définies par ` x= 0 ` et ` x =ln2`

1) Montrons que `forall x in R : f(-x) = -f(x)`
soit `x in R `
on a `f(x)+f(-x) = x+{e^x-1}/{e^x+1} -x+{e^(-x)-1}/{e^(-x)+1} `

`= {e^x-1}/{e^x+1} +{e^(-x)(1-e^x)}/{e^(-x)(1+e^x)}`

`= {e^x-1}/{e^x+1} +{1-e^x}/{1+e^x}`

`= {e^x-1+1 -e^x}/{e^x+1}`

`=0 /{e^x+1} = 0 `

`=> f(x) +f(-x) = 0 `

`=> f(-x) = -f(x) `

`=> forall x in R ; f(-x) = -f(x) `

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Rappel
`A(a,b)` est un point de symétrie de `C_f <=> f(2a-x) = 2b -f(x) `

on a `f(2xx0 -x) = f(-x) = 0 -f(x) `

alors `O(0,0)` est un point de symétrie de `C_f`

2) Montrons que `f(x) = x+1 -2/{e^x+1}`

on a `x+1 -2/{e^x+1} = x +{e^x+1-2 }/{e^x+1}`

`= x + {e^x-1 }/{e^x+1} = f(x) `

alors `forall x in R : f(x) = x+1 -2/{e^x+1}`

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3)
a) on a `x-> e^x ` et dérivable sur `R` on sait que ` forall x in R : e^x > 0 `

`=> forall x in R : e^x +1 > 0 ` donc la fonction `x->e^x+1` est non nulle sur `R`

`=> x-> -2/{e^x+1} ` est dérivable sur `R`

or la fonction `x-> x+1` est polynomiale donc dérivable sur `R`

on conclut que la fonction `f` est dérivable sur `R` et `f'(x) =( x+1 -2/{e^x+1})'`

`=> f'(x) = 1 -{-2(e^x+1)'}/{(1+e^x)^2}`

`=> f'(x) = 1 +{2e^x}/{(1+e^x)^2}`

`=> forall x in R : f'(x) = 1 +{2e^x}/{(1+e^x)^2} `

on a `f'(0) = 1+2/{(1+1)^2} = 1+1/2= 3/2 `

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3b) Montrons que `f` est croissante sur `R`

on a `forall x in R : e^x > 0 ` alors `2e^x > 0 ` et `(e^x+1)^2 > 0 `


`=> {2e^x}/{(1+e^x)^2} > 0 `

`=> 1+ {2e^x}/{(1+e^x)^2} > 0 `

`=> f'(x) > 0 `

alors la fonction `f` est croissante

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3c) Montrons que la droite d équation `y =3/2x` est tangente à `C_f` en `O(0,0)`

on a l equation de la tangente en `O(0,0)` est de la forme

`y =f'(0)( x-0 ) +f(0) ` on a `f'(0) = 3/2`

on a `f(0) = 0 +{e^0 -1}/{e^0+1} = 0 + {1-1}/{2} = 0+0 = 0 `

`=> y = 3/2x +0 = 3/2x `

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4a) Montrons que `lim_{ x to + infty } f(x) = +infty`

on a `lim_{ x to +infty } f(x) = lim_{ x to +infty } x+1 -2/{e^x+1} `

on a `lim_{ x to + infty } e^x = + infty `

`=> ` `lim_{ x to + infty } 1+e^x = + infty `

`=> ` `lim_{ x to + infty } -2/{1+e^x} = 0 `

or `lim_{ x to + infty } x+1 = + infty `

`=> lim_{ x to + infty } f(x) = +infty `

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4b)

on a `lim_{ x to +infty } f(x) -(x+1) = lim_{ x to +infty } x+1 -2/{e^x+1} - (x+1) `

`= lim_{ x to +infty } -2/{e^x+1} `

on a `lim_{ x to + infty } e^x = + infty `

`=> ` `lim_{ x to + infty } 1+e^x = + infty `

`=> ` `lim_{ x to + infty } -2/{1+e^x} = 0 `

`lim_{ x to +infty } f(x) -(x+1) = 0 `

donc la droite d’équation ` y=x+1` est une asymptote de `C_f` au voisinage de `+infty`

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4c)
on a `f(x) -(x+1) = -2/{1+e^x} `

or ` forallx in R : e^x > 0 ` donc ` e^x+1 > 0 `

alors `f(x) -(x+1) <= 0 `

donc la droite ` y= x+1` est en dessus de `C_f`